Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，射線與曲線交于兩點，直線與曲線相交于兩點.

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（Ⅱ）當時，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）將參數方程消去即可得到普通方程；由，根據極坐標和直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（Ⅱ）聯立和射線的極坐標方程可得點極坐標，從而得到；將參數方程代入圓的直角坐標方程，利用的幾何意義，結合韋達定理構造關于的方程，解方程求得結果.

（1）將直線的參數方程消去，化為普通方程得：

由得：

整理可得曲線的直角坐標方程為：

（2）由得：

將直線的參數方程代入得：

由得：

設兩點對應的參數分別為，則：

解得：或

所求的值為或