Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣6x﹣8y﹣5t=0，直線l：x+3y+15=0．
（1）若直線l被圓C截得的弦長為 ，求實數t的值；
（2）當t=1時，由直線l上的動點P引圓C的兩條切線，若切點分別為A，B，則在直線AB上是否存在一個定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C的方程可化為（x﹣3）2+（y﹣4）2=25+5t

故圓心為C（3，4），半徑

則圓心C到直線l的距離為

又弦長為 ，則 即 ，解得t=15

（2）解：當t=1時，圓C的方程為x2+y2﹣6x﹣8y﹣5=0①

則圓心為C（3，4），半徑 ，圓C與直線l相離假設在直線AB上存在一個定點滿足條件，設動點P（m，n）

由已知得PA⊥AC，PB⊥BC

則A，B在以CP為直徑的圓（x﹣3）（x﹣m）+（y﹣4）（y﹣n）=0

即x2+y2﹣（3+m）x﹣（4+n）y+3m+4n=0上②

①﹣②得，直線AB的方程為（m﹣3）x+（n﹣4）y﹣3m﹣4n﹣5=0③

又點P（m，n）在直線l上，則m+3n+15=0，即m=﹣3n﹣15，代入③式

得（﹣3n﹣18）x+（n﹣4）y+9n+45﹣4n﹣5=0

即直線AB的方程為18x+4y﹣40+n（3x﹣y﹣5）=0

因為上式對任意n都成立，故 ，得

故在直線AB上存在一個定點，定點坐標為（2，1）

【解析】（1）根據直線和圓相交，利用弦長公式進行求解即可．（2）利用直線和圓相切的條件，建立方程關系進行求解判斷．