Question

某港口各泊位每天的水深（水面與洋底的距離）f（x）（單位：米）與時間x（單位：小時）的函數關系近似地滿足f（x）=Asin（

π

6

x+φ）+B（A，B＞0，0≤φ＜2π）．在通常情況下，港口各泊位能正常進行額定噸位的貨船的裝卸貨任務，而當貨船的噸位超過泊位的額定噸位時，貨船需在漲潮時駛入航道，靠近碼頭卸貨，在落潮時返回海洋．該港口某五萬噸級泊位接到一艘七萬噸貨船卸貨的緊急任務，貨船將于凌晨0點在該泊位開始卸貨．已知該泊位當天的最低水深12米，最大水深20米，并在凌晨3點達到最大水深．
（1）求該泊位當天的水深f（x）的解析式；
（2）已知該貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為12.5米，安全條例規定，當船底與洋底距離不足1.5米時，貨船必須停止卸貨，并將船駛向較深的水域．據測算，一個裝卸小隊可使貨船吃水深度以每小時0.1米的速度減少．
（Ⅰ）如果只安排一裝卸小隊進行卸貨，那么該船在什么時間必須停止卸貨，并將船駛向較深的水域（精確到小時）？
（Ⅱ）如果安排三個這樣的裝卸小隊同時執行該貨船的卸貨任務，問能否連續不間斷的完成卸貨任務？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）設出函數解析式，據最大值與最小值的差的一半為A；最大值與最小值和的一半為B；通過最大值求出φ，得到函數解析式．
（2）據題意列出不等式，利用三角函數的周期性及單調性解三角不等式，進而得到結論．

解答：解：（1）由于泊位當天的最低水深12米，最大水深20米，
所以

-A+B=12 A+B=20

，解得

A=4 B=16

故f(x)=4sin(

π

6

x+φ)+16
由于在凌晨3點達到最大水深，則f(3)=4sin(

π

2

+φ)+16=20
故sin(

π

2

+φ)=1，又0≤φ＜2π，∴φ=0
則f(x)=4sin(

π

6

x)+16，x∈[0，24]；
（2）設貨船吃水深度以每小時a米的速度減少，則在x時刻貨船的吃水深度為（12.5-ax）米．
令g（x）=f（x）-（12.5-ax）-1.5，則g(x)=4sin(

π

6

x)+ax+2
要使貨船能在該泊位正常卸貨，當且僅當g（x）≥0
（Ⅰ）如果只安排一裝卸小隊進行卸貨，那么a=0.1，g(x)=4sin(

π

6

x)+0.1x+2
當x∈（0，7]時，因為4sin(

π

6

x)≥4sin(

7π

6

)=-2，所以g（x）≥-2+0.1x+2＞0，
又由g(8)=4sin(

8π

6

)+0.8+2=-2

3

+2.8＜0
所以該船必須在上午7點停止卸貨，并將船駛向較深的水域；
（Ⅱ）安排三個這樣的裝卸小隊同時卸貨，能按要求完成卸貨任務
此時，a=0.3，g(x)=4sin(

π

6

x)+0.3x+2
因為泊位的水深f(x)=4sin(

π

6

x)+16，x∈[0，24]在當天上午9點達到最小水深．
所以要連續不間斷的完成卸貨任務當且僅當在x∈[0，9]時正常卸貨．
當x∈（0，7]時，因為4sin(

π

6

x)≥4sin(

7π

6

)=-2，所以g（x）≥-2+0.3x+2＞0，
當x∈[0，7]時，因為4sin(

π

6

x)≥-4，0.3x+2≥0.3×7+2=4.1，所以g（x）≥0.1＞0，
綜上，對任意的x＞0，g（x）＞0恒成立，
即安排三個這樣的裝卸小隊同時卸貨，能按要求完成卸貨任務．

點評：本題主要考查三角函數知識的應用問題．解決本題的關鍵在于求出函數解析式．求三角函數的解析式注意由題中條件求出周期，最大最小值等．