Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，側面APD為等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥底面ABCD，若

EC

=λ

PC

，λ∈（0，1）．
（1）求證：PA⊥DE；
（2）若二面角E-BD-A的余弦值為-

3

3

，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）要證PA⊥DE，只證明PA⊥平面PDC，由平面PAD⊥底面ABCD，DC⊥DA可得DC⊥平面PDA，從而可得DC⊥PA，再由PA⊥PD，可得PA⊥平面PDC；
（2）過P點作AD的垂線交AD于點O，連接OB，以O點為坐標原點，OB為x軸正向，OD為y軸正向，OP為z軸正向，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標并設E（x，y，z），由

EC

=λ

PC

可用λ表示出點E坐標，求出兩平面ADB、BDE的法向量，由二面角的余弦值可得法向量夾角的余弦值得關于λ的方程；

解答：（1）證明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴DC⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴DC⊥PA，
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC，
又∵DE?平面PDC，
∴PA⊥DE；
（2）過P點作AD的垂線交AD于點O，連接OB，
以O點為坐標原點，OB為x軸正向，OD為y軸正向，OP為z軸正向，建立空間直角坐標系，
如圖所示：
則：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（x，y，z），
∴

PC

=（1，1，-1），

EC

=（1-x，1-y，-z），
由

EC

=λ

PC

，得

1-x=λ 1-y=λ z=λ

，∴E（1-λ，1-λ，λ），
顯然，面ABD的一個法向量為

n

=（0，0，1），
設面EBD的法向量為

m

=（x，y，z），
則

BD

=（-1，1，0），

BE

=（-λ，1-λ，λ），
∴

m • BD =0 m • BE =0

，則

-x+y=0 -xλ+y(1-λ)+zλ=0

，

x=1 y=1 z= 2λ-1 λ

，則

m

=(1，1，

2λ-1

λ

)，
由二面角E-BD-A的余弦值為-

3

3

，得|cos＜

m

，

n

＞|=

3

3

，即|

m • n

| m || n |

|=|

2λ-1 λ

1+1+( 2λ-1 λ )2

|=

3

3

，
又λ∈（0，1），∴解得λ=

1

3

；

點評：本題考查空間中直線與直線垂直的判定、二面角的求解，考查學生的推理論證能力、空間想象能力及運算求解能力，屬中檔題．