Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且此拋物線的準線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，試問直線是否過定點？若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點，詳見解析.

【解析】

（1）由題意得出，由題意知點在橢圓上，由此得出關于、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）解法一：由題意可知，直線的斜率不為零，然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論，在第一種情況下，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由得出，并寫出直線的方程，由此可得出直線所過定點的坐標；在第二種情況下可得出直線為軸，即可得出直線過定點，由此得出結論；

解法二：由題意可知，直線的斜率不為零，然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論，在第一種情況下，由點差法可得出直線的斜率為，可寫出直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標；在第二種情況下可得出直線為軸，即可得出直線過定點，由此得出結論.

（1）拋物線的焦點為，準線為.

由于拋物線的準線截橢圓所得弦長為，

則點在橢圓上，則有，解得，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）法一：顯然點在橢圓內部，故，且直線的斜率不為.

當直線的斜率存在且不為時，易知，設直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得：.

設，，則，解得.

因為直線是線段的垂直平分線，

故直線的方程為，即，即.

令，此時，，于是直線過定點；

當直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點.

綜上所述，直線過定點；

法二：顯然點在橢圓內部，故，且直線的斜率不為.

當直線的斜率存在且不為時，設，，

則有，，

兩式相減得，

由線段的中點為，則，，

故直線的斜率，

因為直線是線段的垂直平分線，

故直線的方程為，即，即.

令，此時，，于是直線過定點；

當直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點

綜上所述，直線過定點.