Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E為AA′的中點，C′E⊥BE．

（1）求證：C′E⊥平面BCE；
（2）求直線AB′與平面BEC′所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在矩形ACC′A′中，∵E是AA′的中點，AA′=2AC，

∴EA=AC=EA′=A′C′，

∴∠A′EC′=∠AEC=45°，

∴∠CEC′=90°．即C′E⊥CE．

又C′E⊥BE，CE平面BCE，BE平面BCE，BE∩CE=E，

∴C′E⊥平面BCE

（2）證明：∵C′E⊥平面BCE，BC平面BCE，

∴C′E⊥BC，

又CC′⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴CC′⊥BC，又C′E，CC′平面ACC′A′，C′E∩CC′=C′，

∴BC⊥平面ACC′A′，又AC平面ACC′A′，

∴BC⊥AC．

以C為原點，以CA，CB，CC′為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：

設AC=BC=1，則CC′=2．

∴A（1，0，0，），B（0，1，0），B′（0，1，2），E（1，0，1），C′（0，0，2）．

∴ =（﹣1，1，2）， =（1，﹣1，1）， =（0，﹣1，2）．

設平面BC′E的法向量為 =（x，y，z）．則 ．

∴ ，令z=1，得 =（1，2，1）．

∴ =3，| |= ，| |= ，

∴cos＜ ＞= = ．

∴直線AB′與平面BEC′所成角的正弦值為 ，

∴直線AB′與平面BEC′所成角為30°．

【解析】（1）由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°，于是C′E⊥CE，結合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE；（2）證明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC，以C為原點建立空間直角坐標系，設AC=1，求出 和平面BC′E的法向量 ，則直線AB′與平面BEC′所成角的正弦值為|cos＜ ＞|．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．