Question

已知數列{a_n}是首項為，公比為的等比數列，設b_n＋15log₃a_n＝t，常數t∈N^*.
(1)求證：{b_n}為等差數列；
(2)設數列{c_n}滿足c_n＝a_nb_n，是否存在正整數k，使c_k，c_k＋1，c_k＋2按某種次序排列后成等比數列？若存在，求k，t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）存在k＝1，t＝5適合題意．

(1)a_n＝3－，b_n＋1－b_n＝－15log₃＝5，
∴{b_n}是首項為b₁＝t＋5，公差為5的等差數列．
(2)c_n＝(5n＋t) ·3－，則c_k＝(5k＋t)·3－，
令5k＋t＝x(x>0)，則c_k＝x·3－，c_k＋1＝(x＋5)·3－，c_k＋2＝(x＋10)·3－.
①若＝c_k＋1c_k＋2，則²＝(x＋5)·3－·(x＋10)·3－.
化簡得2x²－15x－50＝0，解得x＝10；進而求得k＝1，t＝5；
②若＝c_kc_k＋2，同理可得(x＋5)²＝x(x＋10)，顯然無解；
③若＝c_kc_k＋1，同理可得(x＋10)²＝x(x＋5)，方程無整數根．
綜上所述，存在k＝1，t＝5適合題意．