Question

根據程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x₁，x₂，…，x₂₀₁₃；y₁，y₂，…，y₂₀₁₃
（Ⅰ）寫出數列{x_n}的遞推公式，求{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）寫出數列{y_n}的遞推公式，求{y_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數列{x_n+y_n}的前n項和S_n（n≤2013）．

Answer 1

（Ⅰ）數列{x_n}的遞推公式為x_n+1=2x_n，
∵

xn+1

xn

=2，
∴數列{x_n}構成一個首項為1公比為2的等比數列，
∴數列{x_n}的通項公式為xn=2n-1（n≤2013）；
（Ⅱ）數列{y_n}的遞推公式為y_n+1=y_n+1，
證明：∵y_n+1-y_n=1，
∴{y_n}是首項為2公差為1的等差數列，
∴y_n=y₁+（n-1）×1=n+1，
即數列{y_n}的通項公式為y_n=n+1（n≤2013）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知xn+yn=2n-1+(n+1)，
∴Sn=(20+21+22+…+2n-1)+[2+3+4+…+(n+1)]
=

1×(1-2n)

1-2

+

n(n+3)

2

=2n-1+

n2+3n

2

（n≤2013）．