Question

（本小題滿分12分）

 已知雙曲線的離心率為，且過點P（）.

 (1)求雙曲線C的方程；

 (2)若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A,B,且  

（其中O為原點），求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）或.

【解析】

試題分析:(1)根據,從而得到,所以曲線C的方程可化為,再把點P（）的坐標代入此方程即可求出b²的值，從而得到雙曲線C的方程.

（2）設,則由可得,

即,所以,因而直l₁的方程與雙曲線C的方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，借助韋達定理代入上述不等式即可得到關于k的不等式，再根據二次項系數不為零及對k的要求，最終得到k的取值范圍.

考點：雙曲線的標準方程及雙曲線的幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，向量的數量積的坐標表示.

點評：（1）當題目給離心率條件求標準方程時一般要利用(雙曲線時)，得到b和a的關系式，然后化簡雙曲線方程，再利用其它條件求方程中的參數即可.

（2）直線與雙曲線相交時，要注意聯立方程得到的一元二次方程的系數不為零，判別式大于零，這是前提條件.