Question

【題目】設為等差數列，為公差，且和均為實數，，它的前項和記作.設集合，.

下列結論是否正確？如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉一個例子說明.

（1）以集合中的元素為坐標的點都在同一直線上；

（2）至少有一個元素；

（3）時，一定有.

Answer 1

【答案】（1）正確（2）正確（3）不正確

【解析】

（1）正確.證明如下：

∵，∴.

這說明適合方程.因此，對于，以為坐標的點在直線上.

（2）正確.證明如下：

設，由（1）知，是方程組

的解.①代入②并整理，得

.

當時，上述方程無解，從而.

當時，.

從而，上述方程組恰有一個解.

于是，至多有一個元素.

（3）不正確.舉例如下：

取，，此時若有，則存在，由（2）有.另一方面，對一切，，所以.這與矛盾.因此，，時，.