Question

某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．
（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式．
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量n	14	15	16	17	18	19	20
頻數	10	20	16	16	15	13	10

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率．
（i）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列，數學期望及方差；
（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據賣出一枝可得利潤5元，賣不出一枝可得賠本5元，即可建立分段函數；
（2）（i）X可取60，70，80，計算相應的概率，即可得到X的分布列，數學期望及方差；
（ii）求出進17枝時當天的利潤，與購進16枝玫瑰花時當天的利潤比較，即可得到結論．
解答：解：（1）當n≥16時，y=16×（10-5）=80；
當n≤15時，y=5n-5（16-n）=10n-80，得：
（2）（i）X可取60，70，80
P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=0.7
X的分布列為

X	60	70	80
P	0.1	0.2	0.7

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=16²×0.1+6²×0.2+4²×0.7=44
（ii）購進17枝時，當天的利潤為y=（14×5-3×5）×0.1+（15×5-2×5）×0.2+（16×5-1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴應購進17枝
點評：本題考查分段函數模型的建立，考查離散型隨機變量的期望與方差，考查學生利用數學知識解決實際問題的能力．