Question

（2013•江蘇一模）已知橢圓E：

x2

4

+y2=1的左、右頂點分別為A，B，圓x²+y²=4上有一動點P，P在x軸的上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（2）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設D（x，y），利用勾股定理和兩點間的距離公式即可關于x，y的方程，與橢圓的方程聯立即可解得點D的坐標，利用S_△ADC=

1

2

|AC|×yD即可得出；
（2）設P（x₀，y₀），得到直線PA的方程，與橢圓的方程聯立及利用點P在圓上即可表示出直線PB、DC的斜率，利用k₁=λk₂，及反比例函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）設D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD²+DC²=AC²，
∴（x+2）²+y²+（x-1）²+y²=9，化為x²+y²+x-2=0  ①．
∵點D在橢圓E上，∴

x2

4

+y2=1  ②．
聯立①②得

x2+y2+x-2=0 x2+4y2=4

，消去y得3x²+4x-4=0，
又-2＜x＜2，解得x=

2

3

．
代入橢圓方程解得y=

2 2

3

．
∴S_△ADC=

1

2

|AC|×yD=

1

2

×3×

2 2

3

=

2

．
（2）設P（x₀，y₀），則直線PA的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，
代入橢圓的方程得到x2+

4 y 2 0

(x0+2)2

(x+2)2-4=0，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴x2+

4(2-x0)

x0+2

(x+2)2-4=0，
化為(10-3x0)x2+(32-16x0)x+24-20x0=0．
此方程有一個實數根-2，設D（x₁，y₁），則x1=

10x0-12

10-3x0

，
代入直線PA的方程得y1=

4y0

10-3x0

，
∴k1=

y0

x0-2

，k2=

y1

x1-1

=

4y0 10-3x0

10x0-12 10-3x0

=

4y0

13x0-22

．
∵k₁=λk₂，∴λ=

k1

k2

=

y0 x0-2

4y0 13x0-22

=

1

4

×(13+

4

x0-2

)，
∵-2＜x₀＜2，x0≠

22

13

，
∴λ的取值范圍為（-∞，0）∪（0，3）．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義、方程及其性質、勾股定理、兩點間的距離公式、斜率公式、直線與圓錐曲線的相交問題轉化為方程組、一元二次方程的根與系數的關系、反比例函數的單調性是解題的關鍵．