Question

在四面體ABCD中，已知棱AC的長為

2

，其余各棱的長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：先作出二面角A-CD-B的平面角，再利用余弦定理求解即可．

解答：解：由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱長都為1得正三角形BCD，取CD得中點E，連BE，則BE⊥CD
在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點F，則∠BEF為二面角A-CD-B的平面角
∵EF=

1

2

（三角形ACD的中位線），BE=

3

2

（正三角形BCD的高），BF=

2

2

（等腰RT三角形ABC，F是斜邊中點）
∴cos∠BEF

EF2+BE2-BF2

2×BE×EF

=

1 4 + 3 4 - 1 2

2× 3 2 × 1 2

=

3

3

故選C．

點評：本題考查二面角的平面角，考查余弦定理，正確作出二面角的平面角是關鍵．