Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，AD=3，CD=1，點E、F分別在AD、BC上，且AE=

1

3

AD，BF=

1

3

BC．現將此梯形沿EF折至使AD=

3

的位置（如圖2）．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線CE與平面BCF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲證AE⊥平面ABCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面ABCD內兩相交直線垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，滿足定理條件；
（II）以點A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，建立空間直角坐標系，然后先求出平面BCF的法向量

n

，記直線CE與平面BCF所成的角為α，利用公式求出直線CE與平面BCF所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：由題意：AE=1，DE=2，AD=

3

，
∴∠EAD=90°，即EA⊥AD，（2分）
又EA⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．（4分）
（Ⅱ）解：以點A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，
則B(0，2，0)，C(

3

，1，0)，E(0，0，1)，F(0，

5

3

，1)，

BF

=(0，-

1

3

，1)，

BC

=(

3

，-1，0)，

CE

=(-

3

，-1，1)，（6分）
設平面BCF的法向量

n

=(1，y，z)，
由

BF • n =0 BC • n =0

得

n

=(1，

3

，

3

3

)．（9分）
記直線CE與平面BCF所成的角為α，
則sinα=

| CE • n |

| CE |•| n |

=

5 3 3

13×3×5 3

=

65

13

．
所以，直線CE與平面BCF所成角的正弦值為

65

13

．（12分）

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．