Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓短軸端點，若為直角三角形且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線,斜率的乘積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據的形狀以及周長，計算出的值，從而橢圓的方程可求；

（2）分類討論直線的斜率是否存在：若不存在，直接分析計算即可；若存在，聯立直線與橢圓方程，得到坐標對應的韋達定理形式，再根據條件將直線方程中的參數關系找到，由此即可化簡計算出的取值范圍.

（1）因為為直角三角形，所以，，

又周長為，所以，故，，，

所以橢圓：.

（2）設，，當直線斜率不存在時，

,，，所以，

又，解得，，.

當直線斜率存在時，設直線方程為，

由得，

得

即，

，

由得，即，

所以

所以.