Question

已知關于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實數根b.

(1)求實數a,b的值.

(2)若復數滿足|-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.

 

Answer 1

(1)a=b=3 (1)

【解析】【思路點撥】(1)把b代入方程,根據復數的實部、虛部等于0解題即可.

(2)設z=s+ti(s,t∈R),根據所給條件可得s,t間的關系,進而得到復數z對應的軌跡,根據軌跡解決|z|的最值問題.

【解析】
(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的實根,

∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

∴解得a=b=3.

(2)設z=s+ti(s,t∈R),其對應點為Z(s,t),

由|-3-3i|=2|z|,

得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),

即(s+1)2+(t-1)2=8,

∴Z點的軌跡是以O1(-1,1)為圓心,2為半徑的圓,如圖所示,

當Z點在OO1的連線上時,|z|有最大值或最小值.

∵|OO1|=,半徑r=2,

∴當z=1-i時,|z|有最小值且|z|min=.