【題目】試求所有的正數
，使得在雙曲線
的右支上總存在焦點弦
，它關于原點的張角為直角。
【答案】
【解析】
記雙曲線
的右焦點為
，其中，
，設焦點弦
交雙曲線的右支于點
.
由
，得
.①
如果
，則漸近線
的傾角
.而雙曲線的右支含于兩漸近線
所夾的角形區域內，該角形區域的頂角
.此時，雙曲線右支中的任一條弦關于原點的張角皆小于
，不合題意.故
.
（1）當焦點弦與
軸垂直時，若
構成以
為斜邊的直角三角形，則是等腰直角三角形，于是，
，
（如圖），即點
滿足
，而
.
由
，得
.
故
.
而，則
.
（2）當焦點弦與軸不垂直時，焦點弦與雙曲線右支的兩個交點具有不同的橫坐標，
設的方程為
.
將雙曲線的方程改寫為
.
則
，即
. ②
又方程②有兩個不同的正根
，則
.
由方程②得
.
據式①由
，
即
.
注意到
，則
.③
由于
，故
.
所以，
.
又
，由式③得
，即
.
綜合（1）、（2），
的取值范圍是.
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【題目】已知函數
，有以下命題：
①
是奇函數；
②單調遞增函數；
③方程
僅有1個實數根；
④如果對任意
有
，則
的最大值為2.
則上述命題正確的有_____________.（寫出所有正確命題的編號）
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【題目】如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色、相鄰區域顏色不同，則區域不同涂色的方法種數為（ ）
A.360B.400C.420D.480
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【題目】袋中裝著10個外形完全相同的小球，其中標有數字1的小球有1個，標有數字2的小球有2個，標有數字3的小球有3個，標有數字4的小球有4個.
現從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的8倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用
表示取出的三個小球上的最大數字，求：
（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
（2）隨機變量的分布列；
（3）計算介于20分到40分之間的概率.
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【題目】已知橢圓
的離心率為
，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M為橢圓上第一象限內一動點，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線MB與x軸交于點C，直線MA與y軸交于點D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.
（1）求拋物線方程;
（2）直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.
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【題目】已知函數f(x)＝x
，g(x)＝2x+a，若x1∈[
，1]，x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數a的取值范圍是( )
A.a≤1B.a≥1C.a≤2D.a≥2
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