Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ +alnx（x＞0，a為常數）．
（1）討論函數g（x）=f（x）﹣x2的單調性；
（2）對任意兩個不相等的正數x1、x2 ， 求證：當a≤0時， ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∴ ．

①當a≤0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）為減函數；

②當a＞0時， ，

當 時，g'（x）＜0，g（x）為減函數；

當 時，g'（x）＞0，g（x）為增函數．

∴當a＞0時，g（x）在 上為減函數，g（x）在 上為增函數

（2）解：證明：以x1為自變量，構造 ．

∴ ，又 ，

= ，

∵ ，∴ ．

故當x∈（0，x2）時，t'（x）＜0，t（x）為減函數；

當x∈（x2，+∞）時，t'（x）＞0，t（x）為增函數．

故對一切x∈（0，+∞），t（x）≥t（x2）=0．當且僅當x=x2時取等號．

題中x1≠x2，故t（x1）＞0恒成立．得證．

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）構造 ，求出t（x）的導數，解關于導函數的不等式，得到函數的單調區間，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．