Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC上一點，且PA∥平面BDM．
（1）求證：M為PC中點；
（2）求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）做出輔助線，連接AC與BD交于G，則平面PAC∩平面BDM=MG，根據面面平行得到線線平行，根據一個點是中點，得到另一個點是中點．
（2）先證出OA，OP，OB兩兩垂直，以O為原點

OA

，

OB

，

OP

分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出兩個平面的法向量的坐標，根據向量的夾角的大小得到結果．

解答：解：（1）證明：連接AC與BD交于G，則平面PAC∩平面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG，
∵底面ABCD是菱形，
∴G為AC中點，
∴MG為△PAC中位線，
∴M為PC中點．
（2）取AD中點O，連接PO，BO，
∵△PAD是正三角形，
∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB，
∴OA，OP，OB兩兩垂直，以O為原點

OA

，

OB

，

OP

分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，
如圖所示，則A（1，0，0），B(0，

3

，0)，D（-1，0，0），P(0，0，

3

)，
∴

DP

=(1，0，

3

)，

AB

=(-1，

3

，0)，
∴

DM

=

1

2

(

DP

+

DC

)=

1

2

(

DP

+

AB

)=(0，

3

2

，

3

2

)，

BP

=(0，-

3

，-

3

)，

CB

=

DA

=(2，0，0)，
∴

DM

•

BP

=0-

3

2

+

3

2

=0，

DM

•

CB

=0+0+0=0，
∴DM⊥BP，DM⊥CB，
∴DM⊥平面PBC，
∴cos＜

OP

，

DM

＞=

2

2

平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大小為

π

4

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，本題解題的關鍵是建立適當的坐標系，寫出要用的空間向量，把立體幾何的理論推導變成數字的運算，這樣降低了題目的難度，這是新課標高考卷中必出的一種題目．