Question

已知

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|2．
（I）求函數f（x）的單調減區間；
（II）若x∈[-

π

3

，

π

4

]，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）通過向量的數量積與向量的模，求出函數的表達式互為一個角的一個三角函數的形式，借助余弦函數的單調增區間，求出函數f（x）的單調減區間；
（II）若x∈[-

π

3

，

π

4

]，求函數f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（I）因為

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)
      所以，f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|2=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

x

2

sin

3

2

x-(cos

3

2

x+cos

x

2

)2-(sin

3x

2

-sin

x

2

)2
=cos2x-2-2cos2x=-2-cos2x
     由2kπ-π≤2x≤2kπ  k∈Z  可得  kπ-

π

2

≤x≤kπ  k∈Z．
     所以函數的單調減區間為：[kπ-

π

2

，kπ]   k∈Z．
（II）x∈[-

π

3

，

π

4

] 所以 2x∈[-

2π

3

，

π

2

]，cos2x∈[-

3

2

，1]，
所以：-2-cos2x∈[-3，-2+

3

2

]，
所以函數的最大值為：-2+

3

2

；最小值為：-3．

點評：本題是中檔題，以向量的數量積，向量的模為載體，考查三角函數的化簡求值，三角函數的單調減區間的求法，閉區間上的最值問題，考查計算能力．