Question

【題目】如圖,ABCD是邊長為a的正方形,PA⊥平面ABCD.

(1)若PA=AB,點E是PC的中點,求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;

(2)若BE⊥PC且交點為E,BE=a,G為CD的中點,線段AB上是否存在點F,使得EF∥平面PAG?若存在,求AF的長;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）以A為坐標原點建立坐標系，得出以及平面PCD的一個法向量，設直線AE與平面PCD所成角為,由sin=|cos<,m>|,即可求出直線AE與平面PCD所成角的正弦值。

（2）設P(0,0,c)(c>0)，=λ由BE=a以及BE⊥PC可得λ=,c=a設AF=l，求出平面PAG的法向量為n，由·n=0即可得出答案。

(1)以A為原點,建立如圖所示的坐標系,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E=(a,0,0),=(0,a,-a).

設平面PCD的法向量m=(x,y,z),則

取m=(0,1,1),

則cos<,m>=.

設直線AE與平面PCD所成角為,

則sin=|cos<,m>|,所以直線AE與平面PCD所成角的正弦值為.

(2)G,設P(0,0,c)(c>0),

則=(-a,-a,c).

設=λ,則E((1-λ)a,(1-λ)a,λc),

∴=(-λa,(1-λ)a,λc).

∵BE=a,

∴(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2=. ①

∵BE⊥PC,∴λa2-(1-λ)a2+λc2=0.

∴c2==a2. ②

由①②解得λ=,c=a,

∴E,P(0,0,a).

若存在滿足條件的點F,可設AF=l(0≤l≤a),

則F(l,0,0),.

設平面PAG的法向量為n=(s,t,p),

則∴n=(-2,1,0).

∵EF∥平面PAG,∴·n=0.

∴-2l+a-a=0,∴l=a.

∴存在滿足條件的點F,且AF=a.