Question

如圖的幾何體中，平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.

Answer 1

證明見解析.

試題分析：(1)要證線面平行，關鍵是在平面內找一條與待證直線平行的直線，本題中，由于，是中點，故很容易讓人聯想到取另一中點，這里我們取中點，則∥∥，，故是平行四邊形，從而有∥，平行線找到了，結論得證；(2)要證面垂直，就是要證線面垂直，關鍵是找哪個平面內的直線，同樣本題里由于是等邊三角形，故，從而很快得到結論平面，而(1)中有∥，則有平面，這就是我們要的平面的垂線，由此就證得了面面垂直.
試題解析：（1）證明：取的中點，連結．
∵為的中點，∴且．
∵平面，平面，
∴，∴． 又，∴．
∴四邊形為平行四邊形，則．
∵平面，平面， ∴平面．    7分
（2）證明：∵為等邊三角形，為的中點，∴
∵平面，，∴．
∵，∴又，
∴平面．
∵平面， ∴平面平面．      14分