Question

（2012•許昌二模）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點．
（Ⅰ）求證AF∥平面BCE；
（Ⅱ）設AB=1，求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CE中點P，連接FP、BP，證明ABPF為平行四邊形，可得AF∥BP，從而可得AF∥平面BCE．
（II）計算直角梯形ABED的面積，C到平面ABDE的距離，即可求得多面體ABCDE的體積．

解答：（Ⅰ）證明：取CE中點P，連接FP、BP，
∵F為CD的中點，∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，
∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）解：∵直角梯形ABED的面積為

1+2

2

×2=3，C到平面ABDE的距離為

3

2

×2=

3

，
∴四棱錐C-ABDE的體積為V=

1

3

×3×

3

=

3

．即多面體ABCDE的體積為

3

．

點評：本題考查線面平行，考查多面體體積的計算，正確運用線面平行的判定是關鍵．