Question

【題目】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≤0.5，確定n的最小值；

(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2)19. (3)n＝19.

【解析】試題分析：（1）確定X 的可能取值，求其概率即可得到X的分布列。

（2）根據（1）中求得的概率，可得到P(X≤18)以及P(X≤19)的概率值，即可確定n最小值為19。

（3）求得n＝19，n＝20時的數學期望，比較大小，所需費用期望值較小的，即n的取值。

試題解析：(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4，0.2，0.2，

從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；

P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2v0.2×0.2＝0.08；

P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

∴X的分布列為

X	16	17	18	19	20	21	22
P	0.04	0.16	0.24	0.24	0.2	0.08	0.04

(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，

P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.

(3)記Y表示2臺機器在購買易損零上所需的費用(單位：元)．

當n＝19時，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×

0．08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.

當n＝20時，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.

可知當n＝19時所需費用的期望值小于n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19.