Question

【題目】已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，直線的斜率為2．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）與圓相切的直線，與拋物線交于兩點，若在拋物線上存在點，使，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）設切點，可分別寫出過兩點的切線方程，再利用它們都過點，從而求p，即可求出拋物線的標準方程；

（2）由題意設直線，由題意可得，，可化為，由直線方程與拋物線聯立可得，從而求b的取值范圍，進而由韋達定理可得，從而求λ的取值范圍．

試題解析：（1）設，

則點處拋物線的切線為，過點，因而；

同理，點處拋物線的切線為，過點，因而．

兩式結合，說明直線過兩點，也就是直線的方程為．

由已知直線的斜率為2，知，

故所求拋物線的方程為．

（2）顯然當直線的斜率不存在與斜率為0時不合題意

故可設直線的方程為．

又直線與圓相切，

所以，即．

與拋物線方程聯立，即，

化簡消得，

設，則，

．

由，則，．

又點在拋物線上，則．

即，由于，因而．

所以的取值范圍為