Question

【題目】在四棱錐中，平面，，，且，，.

（1）求證：；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】分析：（1）由條件可得在直角梯形ABCD中可得，然后根據線面垂直的性質可得，最后由線面垂直的判定定理得到，于是可得．（2）解決立體幾何中的探索性問題，可利用向量的坐標運算求解．根據題意建立空間直角坐標系，假設存在滿足題意的點M，由可求得點M的坐標．在此基礎上可得平面的法向量和平面的法向量，然后根據求得后再求線面角的正弦值．

詳解：（1）由已知得四邊形是直角梯形，

又，，

所以是等腰直角三角形，故．

因為，

所以，

又，

所以，

因為，

所以．

（2）建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，

故，

設，可得的坐標為．

設是平面的一個法向量，

由，得，

令，可得，

又是平面的一個法向量，

由題意得 ，

解得．

所以平面的一個法向量可取，，

設與平面所成的角為，

則，

故當點M是線段的中點時，可使得二面角的大小為，此時與平面所成角的正弦值為．