Question

【題目】已知函數，曲線在點處切線與直線垂直.

（1）試比較與的大小，并說明理由；

（2）若函數有兩個不同的零點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析（2）詳見解析

【解析】

（1）求出的導數，由兩直線垂直的條件，即可得切線的斜率和切點坐標，進而可知的解析式和導數，求解單調區間，可得，即可得到與的大小；（2）運用分析法證明，不妨設，由根的定義化簡可得，，要證：只需要證： ，求出，即證，令，即證，令，求出導數，判斷單調性，即可得證.

（1）函數，，

所以，

又由切線與直線垂直，

可得，即，解得，

此時，

令，即，解得，

令，即，解得，

即有在上單調遞增，在單調遞減

所以

即

（2）不妨設，

由條件：

，

要證：只需要證：，

也即為，由

只需要證：，

設即證：，

設，則

在上是增函數，故，

即得證，所以.