Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

1

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為F₁，F₂，點P是其上的動點，
（1）當△PF₁F₂內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的坐標；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的頂點坐標得出a的值，再根據離心率公式e=

c

a

，由e和a的值求出c的值，由a與c的值利用橢圓的簡單性質求出b的值，進而求得出橢圓C的方程；
（Ⅱ）（1）根據橢圓的定義，由c的值求出|F₁F₂|的值，設F₁F₂邊上的高為h，利用三角形的面積公式表示出S△PF1F2，設△PF₁F₂內切圓的半徑為R，根據△PF₁F₂的周長為2a+2c=6，利用半徑乘周長的一半表示出S△PF1F2，由在橢圓上頂點求出h的最大值，進而得到S△PF1F2的最大值，得到R的最大值，求出內切圓圓心的坐標即可；
（2）把直線l方程代入橢圓C的方程，消去y后得到關于x的一元二次方程，設出直線l與橢圓C的兩交點坐標，根據根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，由A和M的坐標表示出直線AM的方程，求出直線AM與直線x=4的交點，同時求出直線BN與直線x=4的交點，把兩交點的縱坐標相減，通分后，把表示出的兩根之和與兩根之積代入得到其值為0，從而得到兩交點的縱坐標相等，由橫坐標也相等，故直線AM與直線BN的交點在直線x=4上，得證．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的頂點坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

1

2

，
∴a=2，

c

a

=

1

2

，即c=1，
所以b=

a2-c2

=

3

，
則橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；（3分）
（Ⅱ）（1）求得|F₁F₂|=2c=2，設F₁F₂邊上的高為h，所以S△PF1F2=

1

2

×2×h=h，
設△PF₁F₂內切圓的半徑為R，因為△PF₁F₂的周長為定值6．所以

1

2

R×6=3R=S△PF1F2，
當P在橢圓上頂點時，h最大為

3

，
故S△PF1F2的最大值為

3

，
于是R隨之最大值為

3

3

，
此時內切圓圓心的坐標為（0，±

3

3

）；（7分）
（2）將直線l：y=k（x-1）代入橢圓C方程

x2

4

+

y2

3

=1，
并整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
設直線l與橢圓C交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根系數的關系，得x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4(k2-3)

3+4k2

，又A（-2，0），
∴直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

（x+2），它與直線x=4交點坐標為P（4，

6y1

x1+2

），
同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為Q（4，

2y2

x2-2

）（11分）
下面證明P，Q兩點重合，即證明P，Q兩點的縱坐標相等：
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0，
此結論成立．
綜上可知．直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．（13分）

點評：此題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，用到的知識有橢圓的簡單性質，根與系數的關系，直線的兩點式方程及兩直線的交點坐標，要求學生熟練掌握橢圓的第二定義及簡單性質解決問題，第二問中的2小問思路為：將直線與橢圓的方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，由兩點的坐標分別表示出直線AM與NB的方程，分別求出兩直線方程與直線x=4的交點，然后利用作差法得出兩交點的縱坐標相等，又橫坐標也相等，從而得證．