Question

已知空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）求

a

和

b

的夾角的余弦值；
（2）若向量k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算和向量的夾角公式即可得出；
（2）利用(k

a

+

b

)⊥(k

a

-2

b

)，可得(k

a

+

b

)•(k

a

-2

b

)=0即可解得．

解答：解：（1）

a

=

AB

=（-1，1，2）-（-2，0，2）=（1，1，0）．

b

=

AC

=（-3+2，0-0，4-2）=（-1，0，2）．   
∴cosθ=

a • b

| a | | b |

=

-1+0+0

2 • 5

=-

10

10

．
∴

a

和

b

的夾角的余弦值為-

10

10

．
（2）k

a

+

b

=（k，k，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2），
k

a

-2

b

=（k，k，0）-（-2，0，4）=（k+2，k，-4）．
∵(k

a

+

b

)⊥(k

a

-2

b

)，
∴(k

a

+

b

)•(k

a

-2

b

)=（k-1，k，2）•（k+2，k，-4）=（k-1）（k+2）+k²-8=0，
即2k²+k-10=0，解得k=-

5

2

或k=2．

點評：本題考查了向量的坐標運算和向量的夾角公式、向量垂直與數量積的關系，屬于基礎題．