Question

【題目】已知函數g（x）= ，f（x）=g（x）﹣ax．
（1）求函數g（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知函數g（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），

且f（x）= ﹣ax（a＞0），定義域為（0，1）∪（1，+∞），

函數g′（x）= ，

當g′（x）＞0時，x＞e，當g′（x）＜0時，0＜x＜1，1＜x＜e，

∴g（x）在（0，1），（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增

（2）解：∵f（x）在（1，+∞）遞減，

∴f′（x）= ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴x∈（1，+∞）時，f′（x）max≤0，

∵f′（x）=﹣ + ﹣a，

∴當 = ，即x=e2時，f′（x）max= ﹣a，

∴ ﹣a≤0，于是a≥ ，

故a的最小值為

【解析】（1）由函數g′（x）= ，得當g′（x）＞0時，x＞e，當g′（x）＜0時，0＜x＜1，1＜x＜e，從而g（x）在（0，1），（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，（2）由f′（x）= ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，得x∈（1，+∞）時，f′（x）max≤0，從而f′（x）=﹣ + ﹣a，故當 = ，即x=e2時，f′（x）max= ﹣a，得 ﹣a≤0，于是a≥ ，故a的最小值為 ．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．