Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n是二項式（1+2x）²ⁿ（n∈N^*）展開式中含x奇次冪的系數和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設f（n）=，求c_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（），求++…+的值．

Answer 1

（1）解：記（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ
令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n
令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n
兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴S_n=（9ⁿ-1）（4分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1當n=1時，a₁=S₁=4，適合上式
∴a_n=4×9^n-1（n∈N） （6分）
（2）解：f（n）==
注意到f（n）+f（1-n）=+=+= （8分）
c_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（），
可改寫為c_n=f（）+f（）+…+f（）+f（0）
∴2c_n=[f（0）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+[f（）+f（0）]
故c_n=，即f（0）+f（）+f（）+…+f（）= （8分）
∴==36×（-）
++…+
=36×[（-）+（-）+…+（-） （12分）
=36×（-）]=18-（14分）
分析：（1）記（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用賦值可分別令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），從而可求
（2）由（1）可得 ，注意到f（n）+f（1-n）=，從而可考慮利用倒序相加求和，再利用裂項法可求++…+的值
點評：本題以數列為載體，主要考查了利用賦值法求二項展開式的系數，及數列求和中的倒序相加、裂項求和等方法的應用．