Question

．．（本小題滿分14分）定義在上的函數，如果滿足；對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（Ⅱ）若是上的有界函數，且的上界為3，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，求函數在上的上界的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）當時，.

∵在上遞增，所以，

即在上的值域為.     …………………………… 2分

故不存在常數，使成立.

所以函數在上不是有界函數.………………………… 4分

（Ⅱ）∵函數在上是以3為上界的有界函數，

在上恒成立. ,

在上恒成立.

…………………………………… 6分

設，，.

由,得.設，則

，，

所以在 上遞增，在上遞減.

在上的最大值為，在上的最小值為.

所以實數的取值范圍為. ……………………………………… 9分

（Ⅲ）解法一:，.

∵，,.

∴，

∵

∴. …………………………………………… 11分

①當即時，　，此時；

②當即時，，此時.

綜上所述，當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是………… 14分

解法二：.令，因為，所以.

.

因為在上是減函數，所以.………… 11分

又因為函數在上的上界是，所以.

①當即時，；

②當即時，.…………… 14分

 

【解析】略