Question

（08年北師大附中月考文）設函數f (x ) = ax³ + bx² + cx + 3－a（a，b，c∈R，且a≠0），當x =－1時，f (x )取得極大值2.

（I）用關于a的代數式分別表示b與c；

（II）當a = 1時，求f (x )的極小值；

（III）求a的取值范圍.

Answer 1

解析：（I）= 3ax² + 2bx + c，

由，得：b = a + 1，c = 2－a，

（II）當a = 1時，f (x ) = x³ + 2x² + x + 2，

此時，= 3x² + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1)，

由＞0，得x＜－1或x＞－，＜0，得－1＜x＜－，

故極小值為f (－) =；

（III）由于f (x )在x =－1處有極大值，且a≠0，

∴ x =－1是= 0的實數根，且方程有兩個不等實數根，

∴ 另一個根為，

又x =－1處f (x )取得極大值，

∴ 或，解得：a＞.

故a的取值范圍(，+∞).