Question

【題目】已知拋物線 的焦點為 ,其準線與 軸交于點 ,過 作斜率為 的直線 與拋物線交于 兩點,弦 的中點為 的垂直平分線與 軸交于 ．
（1）求 的取值范圍;
（2）求證: .

Answer 1

【答案】
（1）由y2＝-4x,可得準線x＝1,
從而M(1,0)．
設l的方程為y＝k(x-1),聯立
得k2x2-2(k2-2)x＋k2＝0.
∵A,B存在,∴Δ＝4(k2-2)2-4k2>0,
∴-1<k<1.又k≠0,
∴k∈(-1,0)∪(0,1)．
（2）設P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x3＝ ,y3＝k( -1)＝- ＝- .
即直線PE的方程為y＋ ＝- (x- )．
令y＝0,x0＝- -1.
∵k2∈(0,1),∴x0<-3.
【解析】（1）根據拋物線方程求出其準線方程，再聯立拋物線方程和直線方程得出關于x的方程式，最終確定k的取值范圍。
（2）根據已知條件求出k與x0的關系，再由k的范圍確定x0的范圍即可。