Question

已知函數為常數，e=2．71828…是自然對數的底數)，曲線在點處的切線與x軸平行．
(1)求k的值，并求的單調區間；
(2)設，其中為的導函數．證明：對任意．

Answer 1

(1) ，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；(2)證明過程見試題解析．

試題分析：(1)利用在處的導數為0，可求k,進而再利用導函數求出的單調區間；(2)由（1）易證不等式在時成立，只需證時，又，易證最大值為,則對任意．
(1)，
由已知，，∴．
由,
設，則，即在上是減函數，
由知，當時，從而，
當時，從而．
綜上可知，的單調遞增區間是，單調遞減區間是．
(2)由(1)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立，
當時，＞1，且，∴，
設，，則，
當時，，當時，，
所以當時，取得最大值，
所以，
綜上，對任意