Question

（2013•廣東模擬）已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），一個焦點與點A、B構成等邊三角形．
（I） 求橢圓C₁的方程；
（II） 設點P是拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）與C₁的公共點，C₂在點P處的切線與C₁交于點另一點M．Q是P關于X軸的對稱點，問中否存在h使點Q在以PM為直徑的圓上．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），一個焦點與點A、B構成等邊三角形，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C₁的方程；
（II）假設存在h使點Q在以PM為直徑的圓上，利用

QP

•

QM

=0，

QM

∥

OA

，即可求得結論．

解答：解：（I）由題意，∵橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），一個焦點與點A、B構成等邊三角形
∴b=1，2•

b2

a

=1
∴a=2，b=1
∴所求的橢圓方程為

y2

4

+x2=1，
（II）不妨設P（t，t²+h），M（x₀，y₀），則（t²+h）²+4t²-4=0（1）
假設存在h使點Q在以PM為直徑的圓上，則

QP

•

QM

=0
∵

QM

∥

OA

∴M（-t，-t²-h），∴2t=

t2+h

t

∴h=t²＞0
代入（1）得h²+h-1=0
∴h=

5 -1

2

  
∴存在h=

5 -1

2

，使點Q在以PM為直徑的圓上．

點評：本題考查橢圓的標準方程與橢圓的幾何性質，考查向量知識，考查學生的計算能力，求得橢圓的方程是關鍵．