Question

（2012•寶雞模擬）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）若關于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解，則實數a的取值范圍是

[3，+∞）

．
B．（幾何證明選做題）如圖所示，圓O是△ABC的外接圓，過C點的切線交AB的延長線于點D，CD=2

7

，AB=BC=3，則AC長

3 7

2

．
C．（坐標系與參數方程選做題）極坐標系下，直線ρcos(θ-

π

4

)=

2

與圓ρ=

2

的公共點個數是

1

．

Answer 1

分析：A． 由已知條件利用絕對值不等式的性質可得|x+1|+|x-2|≥3，結合題意可得a≥3．
B．結合線割線定理，我們可以求出DB的長，再由△DBC∽△DCA根據相似三角形的性質可以求出AC的長．
C．把極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，將此距離和圓的半徑作對比，得出結論．

解答：解：A．∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，即|x+1|+|x-2|≥3，
由關于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解，知a≥3，
故答案為[3，+∞）．
B．由切割線定理得：DB•DA=DC²，即DB（DB+BA）=DC²，∴DB²+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴

BC

CA

=

DB

BC

，解得AC=

BC•DC

BD

=

3 7

2

．
故答案為

3 7

2

．
C．直線ρcos（θ-

π

4

）=

2

 即

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=

2

，化為直角坐標方程為 x+y-2=0，
圓ρ=2 即 x²+y²=4，圓心到直線的距離等于

|0+0-2|

2

=

2

＜2（半徑），
故直線和圓相交，故直線和圓有兩個交點，
故答案為 2．

點評：本題主要考查絕對值不等式、有關絕對值不等式恒成立的問題．與圓有關的比例線段，相似三角形的性質．把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．