Question

設圓C₁的方程為（x+2）²+（y-3m-2）²=4m²，直線l的方程為y=x+m+2．
（1）若m=1，求圓C₁上的點到直線l距離的最小值；
（2）求C₁關于l對稱的圓C₂的方程；
（3）當m變化且m≠0時，求證：C₂的圓心在一條定直線上，并求C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把m=1代入圓的方程和直線l的方程，分別確定出解析式，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，發現d大于半徑r，故直線與圓的位置關系是相離，則圓上的點到直線l距離的最小值為d-r，求出值即可；
（2）由圓的方程找出圓心坐標，設出圓心關于直線l的對稱點的坐標，由直線l的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線C₁C₂的斜率，由圓心及對稱點的坐標表示出斜率，等于求出的斜率列出一個關系式，然后利用中點坐標公式，求出兩圓心的中點坐標，代入直線l的方程，得到另一個關系式，兩關系式聯立即可用m表示出a與b，把表示出的a與b代入圓C₂的方程即可；
（3）由表示出的a與b消去m，得到a與b的關系式，進而得到圓C₂的圓心在定直線x-2y=0上；分公切線的斜率不存在和存在兩種情況考慮，當公切線斜率不存在時，容易得到公切線方程為x=0；當公切線斜率存在時，設直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，根據點到直線的距離公式表示出圓心（a，b）到直線y=kx+b的距離d，當d等于圓的半徑2|m|，化簡后根據多項式為0時各項的系數為0，即可求出k與b的值，從而確定出C₂所表示的一系列圓的公切線方程，綜上，得到所有C₂所表示的一系列圓的公切線方程．
解答：解：（1）∵m=1，∴圓C₁的方程為（x+2）²+（y-5）²=4，直線l的方程為x-y+3=0，
所以圓心（-2，5）到直線l距離為：，
所以圓C₁上的點到直線l距離的最小值為；（4分）
（2）圓C₁的圓心為C₁（-2，3m+2），設C₁關于直線l對稱點為C₂（a，b），
則解得：，
∴圓C₂的方程為（x-2m）²+（y-m）²=4m²；
（3）由消去m得a-2b=0，
即圓C₂的圓心在定直線x-2y=0上．（9分）
①當公切線的斜率不存在時，易求公切線的方程為x=0；
②當公切線的斜率存在時，設直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，
則，即（-4k-3）m²+2（2k-1）•b•m+b²=0，
∵直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，
所以有：解之得：，
所以C₂所表示的一系列圓的公切線方程為：，
故所求圓的公切線為x=0或．（14分）
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及關于點與直線對稱的圓的方程．此題的綜合性比較強，要求學生審清題意，綜合運用方程與函數的關系，掌握直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，在作（3）時先用消去參數的方法求定直線的方程，然后采用分類討論的數學思想分別求出C₂所表示的一系列圓的公切線方程．