Question

下列命題（為虛數單位）中正確的是
①a，b∈R，若a＞b，則a+i＞b+i；
②當z是非零實數時，|z+

1

z

|≥2恒成立；
③復數z=（1-i）³的實部和虛部都是-2；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，則實數a的取值范圍是-1＜a＜1；
⑤復數z₁，z₂與復平面的兩個向量

OZ1

，

OZ2

相對應，則

OZ1

•

OZ2

=z1•z2
其中正確的命題的序號是

②③④

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①復數不能比較大小，故不正確；
②利用基本不等式的性質即可判斷出；
③利用復數的運算法則即可化簡出；
④利用復數模的計算公式即可得出；
⑤利用向量的數量積的意義和復數乘法的意義即可判斷出．

解答：解：①復數不能比較大小，因此a+i＞b+i不正確；
②當z是非零實數時，(z+

1

z

)2=z2+

1

z2

+2≥2

z• 1 z

+2=4，當且僅當z²=1時取等號，∴|z+

1

z

|≥2，故正確；
③z=（1-i）²（1-i）=-2i（1-i）=-2-2i，∴復數z的實部和虛部都是-2，正確；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，a為實數，則

a2+22

＜

(-2)2+12

，化為a²＜1，解得-1＜a＜1，∴實數a的取值范圍是-1＜a＜1，正確；
⑤由向量的數量積可知：

OZ1

•

OZ2

是一個實數；由復數的乘法運算法則可知：z₁•z₂表示一個復數，因此二者不是一回事，故不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為②③④．

點評：熟練掌握復數不能比較大小的性質、復數的運算法則、復數模的計算公式、向量的數量積的意義和復數乘法的意義、基本不等式的性質是解題的關鍵．