Question

【題目】在平行六面體中，平面，且 ，．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：在平面內(nèi)，過點作，因為平面，可得，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，進一步求出 的坐標(biāo) ，（1）直接利用空間向量向量所成角的余弦公式可得異面直線與所成角的余弦值 ；（2）求出平面與平面的一個法向量，再根據(jù)空間向量夾角余弦公式求出兩法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.

試題解析：在平面ABCD內(nèi)，過點A作AEAD，交BC于點E．因為AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD．

如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz．因為AB=AD=2，AA1=，．

則．

（1），

則．異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為．

(2)平面的一個法向量為，設(shè)為平面的一個法向量，又，則，即，不妨取，則為平面的一個法向量，從而，設(shè)二面角B-A1D-A的大小為，則．因為，所以．因此二面角B-A1D-A的正弦值為．

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線所成的角及二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.