已知焦點在
軸上的橢圓
和雙曲線
的離心率互為倒數，它們在第一象限交點的坐標為
，設直線
（其中
為整數）.
（1）試求橢圓
和雙曲線
的標準方程；
（2）若直線
與橢圓交于不同兩點
，與雙曲線交于不同兩點
，問是否存在直線，使得向量
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
（1）橢圓
為：
，雙曲線
為：
（2）存在，滿足條件的直線共有9條.
【解析】
試題分析：（1）將點
代入
即可求出橢圓的方程，通過橢圓
的離心率求出雙曲線的離心率，聯立離心率和雙曲線的方程，求出
；（2）因為直線
與橢圓交于不同兩點
，所以聯立直線和橢圓方程，消去
，整理方程即可.
試題解析：（1）將點代入解得
∴橢圓為：
，
（2分）
橢圓的離心率為
∴雙曲線的離心率為
，
（3分）
∴
，
∴雙曲線為：
（6分）
（2）由
消去化簡整理得：
設
，
，則
①
（8分）
由
消去化簡整理得：
設
，
，則
②
（10分）
因為
，所以
，
由
得：
．
所以
或
．由上式解得
或
．
當時，由①和②得
．因
是整數，
所以的值為
當，由①和②得
．因
是整數，所以
．
于是滿足條件的直線共有9條． （13分）
考點：1.求橢圓、雙曲線的方程.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（08年廈門外國語學校模擬）（12分）
已知焦點在
軸上的橢圓
是它的兩個焦點.
（Ⅰ）若橢圓上存在一點P，使得
試求
的取值范圍;
（Ⅱ）若橢圓的離心率為
，經過右焦點
的直線
與橢圓相交于A、B兩點,且
,求直線的方程.
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科目：高中數學 來源：2014屆江西南昌八一、洪都、麻丘中學高二上期中數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知焦點在
軸上的橢圓的離心率為
，它的長軸長等于圓
的半徑，則橢圓的標準方程是（ ）
A．
B. 
C.
D.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期2月月考理科數學試卷 題型：解答題
（本題滿分15分）已知焦點在
軸上的橢圓
過點
，且離心率為
,
為橢圓的左頂點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知過點
的直線
與橢圓交于
，
兩點.
（�。┤糁本�垂直于軸，求
的大小;
（ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得
為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.
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軸上的橢圓
的兩個焦點分別為
, 且
，弦
過焦點
，則
的周長為
B． 
C． 
D． 