Question

在△ABC中，內角A，B，C滿足4sinAsinC－2cos(A－C)＝1．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)求sinA＋2sinC的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ)(，]．

試題分析：（Ⅰ）先利用三角函數(shù)的和差化積公式化簡等式，求得角B的余弦值，從而求得角B的大小；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中角B的大小，把化為一個角的三角函數(shù)式，再根據(jù)此角的范圍，求出整個式子的范圍.
試題解析：(Ⅰ)因為4sinAsinC－2cos(A－C)＝4sinAsinC－2cosAcosC＋2sinAsinC
＝－2(cosAcosC－sinAsinC)，
所以－2cos(A＋C)＝1，故cos B＝．
又0＜B＜π，所以B＝．                       6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C＝－A，故sinA＋2sinC＝2sinA＋cosA＝sin(A＋θ)，
其中0＜θ＜，且sinθ＝，cosθ＝．
由0＜A＜知，θ＜A＋θ＜＋θ，故＜sin(A＋θ)≤1．
所以sinA＋2sinC∈(，]．            14分