Question

已知動圓過定點，且與直線相切．

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點，并與軌跡交于兩點，且滿足

？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）動點的軌跡方程為；(2) 直線存在，其方程為．

解析:

（1）如圖，設為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：，

即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線   的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，  ∴ 動點的軌跡方程為；

（2）由題可設直線的方程為，

由得   

   △，，

設，，則，，

   由，即 ，，于是，

即，，

   ，解得或（舍去），

又，  

∴ 直線存在，其方程為．