Question

【題目】有如下3個命題；

①雙曲線上任意一點到兩條漸近線的距離乘積是定值；

②雙曲線的離心率分別是，則是定值；

③過拋物線的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是，則直線過定點；其中正確的命題有（　　）

A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個

Answer 1

【答案】A

【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，設出P（m，n），運用點到直線的距離公式，化簡可得定值，即可判斷①；

運用雙曲線的離心率公式和基本量的關系，化簡可得定值，可判斷②；

可設A（s，），B（t，），求得直線AB的斜率和st=﹣4p2，運用點斜式方程可得直線AB的方程，化簡可得定點，即可判斷③．

①雙曲線（a＞0，b＞0）上任意一點P，設為（m，n），

兩條漸近線方程為y=±x，可得兩個距離的乘積為=，

由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得兩個距離乘積是定值；

②雙曲線=1與（a＞0，b＞0）的離心率分別是e1，e2，

即有e12=，e22=，可得為定值1；

③過拋物線x2=2py（p＞0）的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是A，B，

可設A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，

kAB==，可得直線AB的方程為y﹣=（x﹣s），即為y=x+2p，

則直線AB過定點（0，2p）．

三個命題都正確．

故選：A．