Question

已知數列{a_n}、{b_n}滿足b_n=,求證：數列{a_n}成等差數列的充要條件是數列{b_n}也是等差數列。

Answer 1

證明略

①必要性：
設{a_n}成等差數列，公差為d,∵{a_n}成等差數列
   　　
從而b_n+1－b_n=a₁+n·d－a₁－(n－1)d=d為常數。
故{b_n}是等差數列，公差為d。
②充分性:
設{b_n}是等差數列，公差為d′,則b_n=(n－1)d′
∵b_n(1+2+…+n)=a₁+2a₂+…+na_n                                                          ①
b_n－1(1+2+…+n－1)=a₁+2a₂+…+(n－1)a_n                                 ②
①－②得：na_n=b_n－1?

從而得a_n+1－a_n=d′為常數，故{a_n}是等差數列。
綜上所述，數列{a_n}成等差數列的充要條件是數列{b_n}也是等差數列。