Question

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得到CD⊥SD，CD⊥AD．結(jié)合線面垂直的判定定理，得到CD⊥平面ADS，再由CD?平面ABCD，即可證出平面ASD⊥平面ABCD．
（2）由（1）得二面角S-CD-A的平面角為∠ADS，即∠ADS=120°．過(guò)點(diǎn)S作SH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．可得SH⊥平面ABC．可得CH為側(cè)棱SC在底面ABCD內(nèi)的射影，因此∠SCH為側(cè)棱SC和底面ABC所成的角θ．然后分別在在Rt△SHD、Rt△SDC和Rt△SHC中利用三角函數(shù)知識(shí)，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出sinθ=

6

4

，即得側(cè)棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，
∴CD⊥SD，CD⊥AD．
可得二面角S-CD-A的平面角為∠ADS，∠ADS=120°．
又∵AD∩SD，
∴CD⊥平面ADS．
又∵CD?平面ABCD，
∴平面ASD⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)S作SH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．
∵平面ASD⊥平面ABCD，平面ASD∩平面ABCD=AD，
∴SH⊥平面ABC．可得CH為側(cè)棱SC在底面ABCD內(nèi)的射影．
因此，∠SCH為側(cè)棱SC和底面ABC所成的角θ．…（10分）
在Rt△SHD中，∠SDH=180°-∠ADS=60°，SD=1，可得SH=SDsin60°=

3

2

．
在Rt△SDC中，∠SDC=90°，SD=AB=DC=1，可得SC=

2

．
在Rt△SHC中，sinθ=

SH

SC

=

3

2 2

=

6

4

．
∴側(cè)棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值的

6

4

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面翻折問(wèn)題，求證面面垂直并求直線與平面所成角的正弦值，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．