Question

設(shè)F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．

(1)求|AB|；

(2)若直線l的斜率為1，求b的值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

(2)l的方程為y＝x＋c，其中c＝.，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝.因?yàn)橹本�AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.則＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.