Question

曲線C是平面內與兩個定點F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之積為

1

2

的點的軌跡，P為曲線C上的點．給出下列四個結論：
①直線y=k（x+2）與曲線C一定有交點；
②曲線C關于原點對稱；
③|PF₁|-|PF₂|為定值；
④△PF₁F₂的面積最大值為2

2

．其中正確結論的序號是

②

．

Answer 1

分析：由題意曲線C是平面內與兩個定點F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率的積等于常數

1

2

，利用直接法，設動點坐標為（x，y），及可得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以判斷．

解答：解：由題意設動點坐標為（x，y），則利用題意及兩點間的斜率公式的得：
∵動點P與定點F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之積為

1

2

，
∴k_PF1×k_PF2=

1

2

∴

y2

x2-4

=

1

2

，即

x2

4

-

y2

2

=1，
又x=±2時，必有一個斜率不存在，故x≠±2
綜上點P的軌跡方程為

x2

4

-

y2

2

=1（x≠±2）
對于①，當k=0時，直線y=k（x+2）與曲線C沒有交點，所以①錯；
對于②，把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線關于原點對稱．②正確；
對于③，根據雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=±2a═±4，其絕對值為定值，但|PF₁|-|PF₂|不雖定值，故③錯；
對于④，由題意知點P在雙曲線C上，則△F₁PF₂的面積S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由于雙曲線上點P的縱坐標y沒有最大值，所以④不正確．
故答案為：②．

點評：此題重點考查了利用直接法求出動點的軌跡方程，并化簡，利用方程判斷曲線的對稱性及利用方程式得出曲線的類型是解答的關鍵，屬于基礎題．