Question

（本小題滿分14分）已知動圓與直線相切，且過定點F(1, 0)，動圓圓心為M．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點，且（O為坐標原點），求證：直線l過一定點．

Answer 1

,直線AB過定點 (5, 0)．

解：（1）由已知，點M到直線的距離等于到點（1，0）的距離，所以點M是以F(1, 0)為焦點，以為準線的拋物線，焦點到準線的距離p = 2，      ．．．．．．．．2分
∴   點M的軌跡方程為．                          ．．．．．．．．．4分
（2）設，由可得：  ①
∵   A、B均在拋物線上，
∴    Þ      ②              
由①②可得：，
∴   或（舍去）．                     ．．．．．．．．．．．．．8分
再由相減得：，
若，則AB⊥x軸，，由①：，結合得：，
∴   此時AB的方程為．                      ．．．．．．．．．．．．．．9分
若，則，即為直線AB的斜率，而，則AB的方程為：
，                        ．．．．．．．．．．．．．11分
即 ，
∴   也過定點 (5, 0).             ．．．．．．．．．．．．．．．13分
綜上得，直線AB過定點 (5, 0)．                       ．．．．．．．．．．．．．．．14分