Question

已知函數，當時，.
（1）若函數在區間上存在極值點，求實數a的取值范圍；
（2）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）試證明：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的極值與最值等數學知識，考查學生分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，先對求導，利用，判斷函數的單調區間，利用單調性的變化，判斷有無極值；第二問，將已知的恒成立問題轉化為，即轉化為求函數的最小值問題，利用導數判斷的單調性，求出最小值；第三問，利用第二問的結論進行變形，得到類似所證結論的表達式，通過式子的累加得到所證結論.
試題解析：（1）當x>0時，，有
；
所以在（0，1）上單調遞增，在上單調遞減，
函數在處取得唯一的極值．由題意，且，解得
所求實數的取值范圍為.              4分
（2）當時，   5分
令，由題意，在上恒成立
   6分
令，則，當且僅當時取等號．
所以在上單調遞增，．   8分
因此，   在上單調遞增，．
所以．所求實數的取值范圍為      9分
（3）由（2），當時，即，即．   10分
從而．             12分
令，得，
 將以上不等式兩端分別相加，得
          14分